UNA BREVE INTRODUCCIÓN A LA DISTRIBUCIÓN DE CAUCHY
La distribución Cauchy-Lorentz es una distribución de probabilidad contínua, con forma similar a la normal, y muy usada en física. Su importancia en la física es dada por ser la solución de una ecuación diferencial muy importante.
En matemáticas, es un buen contraejemplo dado que se trata de una función de densidad aparentemente con muy buenas propiedades, con moda y mediana definidas, pero cuya media y varianza son infinitas.
Por lo tanto, conviene familiarizarse con ella.
FUNCIÓN DE DENSIDAD
La función de densidad de la Cauchy depende de dos parámetros, x0 (pico) y γ (escala).
En el caso especial donde x0 = 0 y γ = 1 es denominado la distribución estándar Cauchy con función de densidad:
FORMA DE LA DISTRIBUCIÓN DE CAUCHY
La distribución de Cauchy tiene una forma simétrica, acampanada, muy parecida a la normal, pero con colas mucho más pesadas.
Aquí vemos la distribución de Cauchy estándard comparada con la t-student con df=5 y con la propia normal. Como puede verse, la t-student va mucho más pegada que la Cauchy:
PROPIEDADES PRINCIPALES
Visto esto, a nadie debería sorprenderle lo siguiente:
La distribución de Cauchy no tiene momentos de orden k, para ningún k≥1.
Pero, sin embargo, tiene moda y mediana perfectamente definidas, ambas iguales a x0
Además, puede verse que la distribución de Cauchy es un caso particular de la t-student. En concreto la t-student con df=1 (grados de libertad).
Y con esto acabamos nuestro breve repaso de esta curiosa distribución.
Comentarios
Publicar un comentario