Un mundo de sucesos imposibles - El "tongo" de la Bonoloto.

     El evento imposible -  introducción al problema

 La prensa se ha hecho eco de un evento "imposible": ha salido dos veces consecutivas prácticamente el mismo número premiado de la bonoloto. Concretamente:

- Día 9 de marzo: 8, 21, 23, 40, 43 y 47, con el número complementario 26 y el reintegro 7
- Día 11 de marzo: 8, 21, 23, 28, 40 y 47, con el número complementario 26 y el reintegro 7

Esta ofensa a la lógica y a la teoría de la probabilidad no tiene precedentes. Ante semejante acontecimiento, se lee por todas partes que la bonoloto está trucada, justificándolo con un cálculo - casi siempre mal hecho - de las probabilidades de dicho evento.

¿Cuál es la probabilidad de que ocurra esto?

Vayamos por partes. Lo primero, hagamos la pregunta bien: ¿cuál es la probabilidad de que suceda un evento tan raro o más que el que nos atañe?

Nótese que he puesto "tan raro o más". Esto es la forma correcta de calcularlo dado que, en un espacio tan grande, todos los eventos tienen probabilidad casi cero. Pero a nosotros lo que nos interesa es saber la probabilidad de que salgan todos los números casi idénticos al anterior. 

"Casi idénticos" es una definición muy laxa. Nos limitaremos a decir que dos combinaciones de la bonoloto son casi idénticas si coinciden en al menos 7 números de los 8 que se sortean con número dado, que en este caso sería el ganador del 9 de marzo. 

No es la única definición de "tan raro o más" posible. Alguno podría considerar que salir todo números primos es también un evento raro.

Una combinación de la bonoloto se compone de 6 números, elegidos sin reemplazamiento del conjunto {1,...,49}, un número complementario, también de {1,...,49} y un último número de reintegro de un único dígito, que se elige en {0,..,9}.

Estamos interesados en saber la probabilidad de que ocurra uno de estos dos eventos:

- coinciden 7 de los 8 números
- coinciden los 8 números

Estos son los eventos que, según nuestra definición, son "muy raros".
 

El número de posibles combinaciones premio + complementario + reintegro es:

De las cuales, tenemos que contar las que coinciden los 8 números - que evidentemente sólo hay una - y las que coinciden 7 de los 8 números premiados la vez anterior. Esto puede suceder de varias formas:

 - coinciden los 6 números de la combinación y el complementario, pero falla el reintegro: 9 posibilidades (por elegir un reintegro diferente al original)

 - coinciden los 6 números de la combinación y el reintegro pero falla el complementario: 48 posibilidades.

- coinciden 5 de los 6 números de la combinación, complementario y reintegro:

Este número sale de considerar todos los posibles subconjuntos de 5 números de los 6 premiados multiplicado por todas las posibilidades de elegir un único número no premiado.

Así pues, son en total 258+1+9+48 =316 y, por lo tanto, las probabilidades de que esto ocurra son 316/6852069840 = 4.6e-08 (redondeado).

La probabilidad de que observemos este fenómeno es prácticamente cero.

Vamos escribir esta última frase de otra forma: "La probabilidad de que observemos este fenómeno, si observamos un único sorteo de lotería, es prácticamente cero".

Un mundo de eventos imposibles

Continuamente a nuestro alrededor están ocurriendo eventos que tiene probabilidad cero, pero de los que no tenemos noticias.

En un mundo de 7 mil millones de personas hay sorteos, lanzamientos de moneda, juegos de dados, lecturas de poso de café, accidentes increíbles que necesariamente se darán al realizar tantos experimentos simultáneos. 

   

En un mundo ávido de noticias, todo lo que parece raro será inmediatamente publicado y amplificado hasta parecer un milagro. Para nosotros, que nos toque la lotería de navidad es un hecho excepcional. Para alguien que observa todos los sorteos de lotería simultáneamente es algo cotidiano.