UNA BREVE EXPLICACIÓN DE LA LEY DE LAS ESPERANZAS ITERADAS

 

 

Supongamos que realizamos el siguiente experimento:

Lanzamos una moneda y:

• Si sale cara, lanzamos un dado y apuntamos el resultado del dado.
• Si sale cruz, lanzamos dos dados y anotamos la suma de ambos.

 Definamos como X la variable aleatoria "puntuación obtenida". ¿Cual es E[X]? Parece evidente que será:

 

Esto da lugar al llamado teorema de la esperanza total:

 

Notar que E[Y|X=x] es una función de x.

Se trata de un resultado bastante intuitivo y cuya generalización es la ley de las esperanzas iteradas, que afirma lo siguiente en su notación más general:

 

 Y cuya demostración es inmediata partiendo del anterior, sin más que particionar el espacio de eventos de acuerdo con los distintos valores de la variable X y teniendo en cuenta la observación anterior (E[Y|X) es función de X):

 

No queremos dar una demostración rigurosa, sino simplemente una idea intuitiva de lo que significan las cosa. La ley de las esperanzas iteradas es importante porque nos permite descomponer el cálculo de la media en subproblemas más asequibles.

De forma gráfica: