ERRORES COMUNES - LAS VARIABLES ALEATORIAS NO SON "ALEATORIAS"

¿Qué es una variable aleatoria?

 

Es un error común pensar que, por el hecho de llamarse "aleatorias", las variables aleatorias realmente tienen algo de incertidumbre asociadas a ellas. Y no es así.

 La verdad es que ni el nombre ni la notación (X o Y en lugar de f o g) ayudan demasiado.

Veamos un ejemplo sencillo:

Vamos a lanzar un dado. El espacio muestral en este caso, que lo forman el conjunto de resultados posibles, son todos los números del 1 al 6. Esto es S = {1,2,3,4,5,6}.

Una variable aleatoria no es más que una función del espacio muestral en los números reales. A cada elemento del espacio muetral, en este caso a cada numero del conjunto S, le asignamos un número. Veamos unos ejemplos:

 

Como puede verse, no hay aleatoriedad por ningún lado.  Es simplemente un valor que se asigna a cada resultado posible. Por ejemplo, podemos calcular Z(6) así:

 

Es un número fijo. El número que le asignamos a que nuestro dado resulte en un 6.  La única parte aleatoria del experimento es lanzar el dado.

Y aunque insistamos en evaluar y evaluar Z una y otra vez en el númeo 6, nos va devolver siempre lo mismo:

 Las variables aleatorias sirven para asignar un valor - podemos pensar en un coste o un premio al resultado de tirar un dado. Pero son funciones totalmente normales - se pueden sumar, dividir, integrar, derivar... El único requisito que suele pedirse es que sean integrables, para poder enlazar el caso discreto con el continuo (hablaremos de esto en otra ocasión) y poder hablar de la probabilidad de un intervalo de tiempo o un área.

Una variable aleatoria no deja un coste o premio, asignado al resultado de un experimento. Dicho valor puede ser desde una función trivial (cara = 0, cruz = 1) hasta una expresión sumamente complicada.

Distribuciones de probabilidad asociadas a una variable "aleatoria"

Otro concepto que suele traer confusión es el de distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria.

A partir de asignar al resultado de tirar el dado un valor, Z(x), podemos hablar de la probabilidad de que ese valor esté en un rango concreto. Por ejemplo, podemos hablar de P[Z=2.680214], que en este caso sería P[Z=2.680214] = P[dado=6] = 1/6. También podemos preguntarnos por P[Z=pi]=0, puesto que ningún resultado de lanzar el dado luego nos da un valor de Z que sea exactamente el número pi.

Esto es la distribución de probabilidad asociada a la variable aleatoria X.

Dado que no siempre existe función de densidad, siempre se introduce primero la función de distribución asociada a la variable aleatoria en su lugar, que sería:

 

Aquí, de nuevo, la notación sólo hace que confundir. La Z(mayúscula) es la variable aleatoria y la z minúscula un número real. Por ejemplo F(10) es la probabilidad de que evaluando Z en el resultado de tirar un dado salga algo menor o igual que 10.

 

Esperanza, varianza, etc de una variable "aleatoria"

 Una vez determinada la distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria, cabe la posibilidad de hablar de su media, varianza, etc. En concreto:

Que no deja de ser otra cosa mas que un promedio de los valores que va tomando Z para cada uno de los resultados de tirar el dado, tomando como peso las probabilidades de que salga dicho resultado.

Del mismo modo podríamos hablar de varianza, simetría o cualquier otra cosa que se nos ocurra y extender todo esto a variables continuas a través de la integral.

 

Sirva como pequeño resumen: las variables aleatorias NO son aleatorias. Son un modelo maetmático para la el azar. Son simplemente funciones.